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Olivier Vitrac et Catherine Joly
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70
La concentration moyenne dans l'emballage est définie par :
*
1
*
,
0
x Fo
u
u
dx
=
. En l'absence
de contamination initiale de l'aliment, la concentration moyenne dans l'aliment est définie
par:
( )
1
v
L
u
= -
.
2.2.3.2
Conditions limites adimensionnées
La condition limite sans dimension correspondant aux résistances en série
R
D
,
R
K
et
R
H
(Figure 2-1) est écrite à partir de la conservation du flux de part et d'autre de l'interface P-F
(position
x*=1),:
(
)
* 1
*
* 1
*
*
x
x
x
u
j
Bi K u
u
x
-
-
=
=
= -
=
-
(6)
0
*
P
P
P
P t
l
j
j
D C
=
=
est le flux sans dimension,
D
F
P
H
P
R
h l
Bi
R
D
=
=
est le nombre de Biot
matière.
h est le coefficient de transfert de masse à l'interface et a pour unité m·s
-1
. Dans le
cadre de l'approximation de la couche limite, il est égal au rapport entre le coefficient de
diffusion dans le liquide,
D
F
, et l'épaisseur de la couche limite, (voir Figure 2-1).

La condition d'équilibre thermodynamique local entre
F et P impose :
* 1
* 1
x
x
K u
v
-
+
=
=
=
(7)
*
,
x Fo
v
est le champ de concentration sans dimension dans l'aliment. Dans l'équation (6),
*
*
x
x
K u
v
=
représente l'équation loin de la concentration de l'interface. De manière
pratique, la concentration loin de l'interface,
*
x
v
, est remplacée par la concentration
moyenne dans F, notée
Fo
v
:
*
*
*
1/
1
*
*
0
,
0
,
,
0
0
0
1
L
F t
Fo
Fo
x Fo
Fo
x Fo
x
Fo
P t
C
v
v
L
v
dx
v
L
u
dx
K u
C
=
=
=
=
=
+
=
+ -
(8)
L'hypothèse introduite dans l'équation (8) est particulièrement réaliste pour les aliments
liquides ou semi-liquides pour lesquels la concentration est homogène loin de l'interface.
Dans le cas d'aliments solides, la concentration moyenne ou homogénéisée peut différer de la
concentration loin de l'interface.
Dans un code de calcul,
*
x
u
, ou de manière équivalente
*
v
, est avantageusement calculé à
partir du flux cumulé ayant traversé l'interface :
( )
( )
0
0
*
*
*
0
0
0
1
1
1
*
t
Fo
Fo
Fo
x
x
x
P
F
F
t
L
u
u
j
d
u
j
d
K C
l
K
=
=
=
=
+
=
+
(9)
L'équation (6) combinée avec l'équation (9) conduisent à la forme pratique de la condition
limite, écrite sous la forme d'un opérateur intégro-différentiel:
(
)
( )
0
* 1
*
* 1
0
*
*
*
Fo
Fo
x
x
x
u
j
Bi K
u
u
Bi L
j
d
x
=
=
=
= -
=
-
-
(10)
Deux simplifications sont déduites de l'équation (10) en supposant R
H
=0 ou R
K
=R
H
0. Le
première simplification est obtenue en différenciant l'équation (10) par rapport au temps: