background image
TI : La modélisation du risque de contamination d'un aliment emballé
19
70
V
E
R
S
I
O
N
2
:
F
e
b
r
u
a
r
y
8
,
2
0
0
7
(
)
=
=
=
+
=
0
0
0
0
0
0
1
1
j
eq
n
n
j
j
j
j
j
j
eq
eq
t
j
j
k k C
C
l
C
l
C
l
(18)
En notant que l'état de l'équilibre impose
{ }
0
1..
j
eq
eq
j
n
p
p
=
=
, la concentration à l'équilibre dans
l'aliment est finalement donnée par :


=
=
=
=
+
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
n
j
j
j t
j
eq
n
j
j
j
j
l
C
l
C
l
k
k
l
(19)

La pression partielle correspondant à l'équilibre peut également être exprimée en fonction de
la pression partielle initiale dans chaque couche :
{ }


=
=
=
=
=
=
+
0
0
0
0
1
0
1..
0
0
0
1
1
n
j
j
j t
j
j
j
eq
n
eq j
n
j
j
j
j
l
k
p
k
l
p
p
l
k
k
l
(20)

Les équations (19) et (20) généralisent l'équation (4) aux matériaux multicouches sans
condition d'équilibre initial entre les couches. Quand la concentration initiale n'est pas
uniforme dans une des couches, l'équation (19) doit être remplacée par une intégration
continue :
( )
-
-
=
=
=
=
+
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
c
j
c
j
c
j
c
j
l
n
x
m
j
j t
j
l
eq
l
l
n
m
m
j
j
j
l
C
x
dx
C
k
x
dx
x
dx
k
(21)
m = 0, 1, 2 respectivement pour des systèmes de coordonnées cartésiennes, cylindriques et
sphériques.
=
=
0
n
c
j
j
j
l
l
est l'épaisseur cumulée jusqu'à la couche
j.

Par convention et d'après l'équation (17), le choix de
k
0
= 1 conduit à identifier
k
j
au
coefficient de partage entre l'aliment et la couche
j.
2.3.2 Equations de transport

L'équilibre thermodynamique local aux interfaces impose que la pression partielle soit
continue au travers toutes les couches. Les équations de transport obtenues à partir de ce
potentiel moteur des transferts sont aisément implémentables à l'aide d'une formulation forte
dans les codes numériques commerciaux. La densité locale de flux de matière dans la couche
j
s'exprime en fonction du gradient de pression partielle :
= -
= -
= -
-2 -1
2 -1
-3
kg m s
m s
kg m
j
j
j
j
j
j
j
j
C
D
p
p
J
D
x
k
x
x
(22)