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Olivier Vitrac et Catherine Joly
20
70
Si
D
j
est uniforme dans la couche
j>1,
=
=
j
j
j
j
j
j
D
D
k
est une nouvelle propriété de
transport équivalente. Le bilan de matière local dans la couche pour
j s'écrit pour un système
de coordonnées généralisées :
(
)
=
-
=
1
1
m
m
j
j
j
m
m
p
p
x
J
x
t
x
x
x
x
x
pour
j=1..n
(23)
Parce que des discontinuités très importantes entre les valeurs de
{ }
=
1..
j
j
n
et de
{ }
=
1..
j j
n
sont attendues, une formulation adimensionnée des équations de transport est préférable pour
préserver la stabilité numérique du schéma de discrétisation. Par analogie avec la perméation,
l'échelle de référence,
l
ref
, est associée à l'épaisseur de la couche avec la résistance au
transfert la plus grande, c'est-à-dire avec la plus faible valeur
{
}
=
1..
j
j j
n
l
. Le nombre de
Fourier,
Fo, est défini par:
=
2
ref
j
ref
t
Fo
l
(24)
L'équation de conservation locale de la masse s'écrit finalement:
=
*
*
1
*
*
*
*
ref
j
m
j
m
j
p
p
x
Fo
x
x
x
pour
j=1..n
(25)
avec
=
*
ref
x
x
l
et
=
0
*
eq
p
p
p
.
A l'interface P-F (entre
j=1 et j=0), à la position x
*
=0, la condition limite s'écrit:
=
=
=
=
= -
=
+
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
t
x
x
x
x
p
J
h
p
J
d
x
k
l
(26)
Le signe + devant le terme cumulé,
=
0
0
t
x
J
d
, au lieu du signe ­, qui apparait dans l'équation
(10), est la conséquence de la projection du flux (vecteur) sur l'axe
x , puisque
0
x
J
=
est compté
négativement.
En introduisant le flux sans dimension:
=
=
=
= -
=
*
*
1
0
0
0
* 0
1
*
ref
x
x
ref
ref
eq
x
l
p
J
J
x
p
, on obtient
la condition limite adimensionnée:
=
=
=
=
+
*
*
*
0
0
0
0
0
Fo
x
x
x
p
J
Bi
L
J
d
k
(27)
=
ref
ref
h
Bi
l
est le nombre de Biot et
=
0
ref
l
L
l
est le facteur de dilution.
Une condition limite imperméable est retenue à la position
=
* 1
x
:
=
=
*
1
0
*
x
p
x
(28)

Des profils de concentration typiques pour des matériaux multicouches sont présentés sur la
Figure 3-4 et discutés dans la partie 3.3.