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O. Vitrac et C. Joly
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20/07/2007
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Figure 61. a) Interprétation 1D de la diffusion moléculaire (2
nde
loi de Fick) à partir des flux microscopiques.
b) Interprétation du flux macroscopique J (1
ère
loi de Fick) à partir de l'échange de molécules à la fréquence
entre deux états 1 et 2 séparés d'une distance l. c) Interprétation de la diffusion mutuelle d'un additif et des
monomères. Les molécules ou monomères sont représentées par des billes qui sautent dans une direction
aléatoire. La direction du saut est donnée par la direction du regard.
La Figure 61b présente le coefficient de diffusion, D, comme le produit d'une longueur de saut, l, et
d'une fréquence de saut, . Le coefficient de proportionnalité est 1/2 en 1D. En 3D, une
décomposition orthogonale des flux conduit à :
2
1
6
D
l
(32)

Dans un milieu homogène et pour une l'échelle de variation de la concentration grande devant l, la
loi de conservation correspondant à la loi de transport (31) s'écrit :
( )
1
1
1
n
n
n
n
n
n
c
c
c
x J x
x D
D
x
t
x
x
x
x
x
=
-
=
(33)
où n=0,1,2 respectivement en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques. La dernière
égalité est valide uniquement si le coefficient de diffusion est homogène. En remplaçant dans
l'équation précédente c par u=c/c
0
, tel que c
0
soit une constante positive qui conduise à tout instant
à
1
u dx
-
=
on obtient l'équation du mouvement Brownien d'une particule ou molécule soumise à
une vitesse et une direction de déplacement aléatoires.
6.1.1 Diffusion de traceur
La représentation précédente s'appuie sur des déplacements discrets et réguliers des molécules. Une
représentation continue est obtenue en résolvant la seconde loi de Fick pour une distribution
ponctuelle
(
)
( )
=
=
,
0
u x t
x
,où
( )
,
u x t
est la probabilité de trouver une molécule à la position x et
l'instant t (Figure 62). Pour un système infini, on a :